المسار الإهليلجي وقانون كبلر الأول
يحدد عناصر المسار الإهليلجي (البؤرتين والمحورين والاختلاف المركزي)، ويفسّر كيف يتغيّر شكل مدار الكوكب بتغيّر سرعته.
المحاكاة التفاعلية
محاكاة تفاعلية: قوانين كبلر — من PhET
لا تُحمَّل المحاكاة إلا بطلبك. اضغط لبدء التشغيل — قد تستغرق لحظات على الاتصال البطيء.
في كتابك
- نشاط (٧): الشكل الإهليلجي وقوانين كبلر — الجزء الأول، ص ٤٩
خطوات التجربة
افتح شاشة «القانون الأول».
فعّل «بؤر» و«محاور» و«المزج» (أنصاف المحاور)، وحدّد على المدار البؤرتين والمحور الرئيس، ولاحظ موضع الشمس.
فعّل «خيط» ولاحظ الخيط الممتد من البؤرتين إلى الكوكب أثناء دورانه، كالخيط والدبوسين في نشاطك.
اسحب رأس سهم سرعة الكوكب لتغيير سرعته، ولاحظ كيف تتغيّر استطالة المدار والمسافة بين البؤرتين.
فعّل «الانحراف» واقرأ قيمة الاختلاف المركزي e لثلاثة مدارات مختلفة، وسجّلها مع ملاحظتك عن المسافة بين البؤرتين.
عدّل السرعة حتى يصير المدار أقرب ما يكون إلى دائرة، ولاحظ موضع البؤرتين وقيمة e.
الفكرة العلمية
ينصّ قانون كبلر الأول على أن كل كوكب يدور حول الشمس في مسار إهليلجي تقع الشمس في إحدى بؤرتيه. والإهليلج هو مجموع النقاط التي يكون مجموع بعديها عن البؤرتين ثابتًا، ولهذا يُرسم بخيط مثبت بدبوسين: طول الخيط بين البؤرتين والقلم ثابت ويساوي طول المحور الرئيس 2a. ونصف طول المحور الرئيس a هو الذي يدخل في قانون كبلر الثالث. ويصف الاختلاف المركزي e = c / a مدى استطالة المسار، حيث c البعد بين المركز وإحدى البؤرتين: فإذا اقتربت البؤرتان من المركز صغرت e واقترب المسار من الدائرة (e = 0)، وإذا تباعدتا اقتربت e من الواحد. والبؤرة الثانية نقطة هندسية فارغة لا يلزم أن يوجد فيها جسم. والمحاكاة ترسم المسار من حركة الكوكب بدل الرسم اليدوي بالخيط.
قوّم نفسك
جرّب المحاكاة أولًا ثم أجب. لا درجات ولا تسجيل — الإجابات لك وحدك، وتختفي بإغلاق الصفحة.
أين تقع الشمس من المسار الإهليلجي للكوكب؟
- في مركز الإهليلج
- في إحدى بؤرتيه
- على المحور الثانوي
- على المسار نفسه
اعرض الإجابة
ب) في إحدى بؤرتيه
هذا نص قانون كبلر الأول. ولو كانت الشمس في المركز لكان بعد الكوكب عنها متماثلًا على جانبي المدار. والخلط بين المركز والبؤرة شائع لأن المدارات تُرسم في الكتب غالبًا قريبة من الدوائر.
لاحظتَ عند تفعيل «خيط» أن مجموع طولي الخيط من البؤرتين إلى الكوكب لا يتغيّر. علامَ يدل هذا المجموع الثابت؟
- على المسافة بين البؤرتين
- على نصف طول المحور الثانوي
- على بعد الكوكب عن الشمس
- على طول المحور الرئيس
اعرض الإجابة
د) على طول المحور الرئيس
عند طرف المحور الرئيس يتضح أن مجموع البعدين يساوي طول المحور الرئيس 2a، وهو ثابت لكل نقاط الإهليلج. أما بعد الكوكب عن الشمس فهو أحد البعدين فقط، ويتغيّر على طول المدار.
جعلتَ المدار دائرة تقريبًا. ماذا يحدث للبؤرتين وللاختلاف المركزي؟
- تنطبق البؤرتان على المركز وتصير e قريبة من صفر
- تتباعد البؤرتان وتصير e قريبة من 1
- تبقى البؤرتان مكانهما وتتغيّر e فقط
- تختفي الشمس من البؤرة
اعرض الإجابة
أ) تنطبق البؤرتان على المركز وتصير e قريبة من صفر
الدائرة حالة خاصة من الإهليلج تنطبق فيها البؤرتان على المركز، فيكون c = 0 و e = c / a = 0. وكلما تباعدت البؤرتان زادت e واستطال المسار.
يظن بعض الطلاب أن جسمًا ما يجب أن يوجد في البؤرة الثانية للمدار. هل هذا صحيح؟ استند إلى ما رأيته في المحاكاة.
اعرض الإجابة
ليس صحيحًا. الشمس في إحدى البؤرتين فقط، والبؤرة الثانية نقطة هندسية فارغة تحدد شكل الإهليلج. ويظهر ذلك في المحاكاة: البؤرة الأخرى علامة على الشاشة لا يوجد عندها أي جسم، ومع ذلك يتحرك الكوكب في المسار نفسه.
مدار نصف طول محوره الرئيس 1 AU، والبعد بين مركزه وإحدى بؤرتيه 0.6 AU. احسب الاختلاف المركزي وصف شكل المدار.
اعرض الإجابة
e = c / a = 0.6 / 1 = 0.6. وهي قيمة كبيرة نسبيًا، فالمدار مستطيل واضح، وتكون الشمس قريبة من أحد طرفي المحور الرئيس. فيتغيّر بعد الكوكب عنها كثيرًا بين أقرب نقطة وأبعد نقطة.