حساب تسارع الجاذبية بالبندول البسيط
يقيس الزمن الدوري لبندول بسيط عند أطوال مختلفة، ويمثّل T² مقابل L بيانيًا ليحسب تسارع الجاذبية الأرضية من الميل.
المحاكاة التفاعلية
محاكاة تفاعلية: معمل البندول — من PhET
لا تُحمَّل المحاكاة إلا بطلبك. اضغط لبدء التشغيل — قد تستغرق لحظات على الاتصال البطيء.
في كتابك
- نشاط (٢): حساب تسارع الجاذبية الأرضية — الجزء الأول، ص ٨٧
خطوات التجربة
افتح شاشة «المعمل»، واختر للجاذبية «الأرض»، واجعل «الاحتكاك» على «لا شيء».
اضبط «الطول 1» على 0.40 m، واسحب ثقل البندول إلى زاوية صغيرة (10° أو أقل) ثم أفلته.
فعّل «العداد الزمني» وشغّله، واقرأ «الزمن الدوري» وسجّله في جدول (أو قس زمن 10 اهتزازات بـ«ساعة ايقاف» واقسمه على 10 كما في الكتاب).
كرّر القياس للأطوال 0.60 m و 0.80 m و 1.00 m بالزاوية الصغيرة نفسها.
احسب T² لكل طول، وارسم T² على المحور الرأسي مقابل L على الأفقي، وجد الميل.
احسب g = 4π² / الميل، وقارن الناتج بالقيمة 9.8 m/s².
اختر «كوكب اكس» وكرّر القياس لطولين على الأقل لتحسب تسارع الجاذبية على ذلك الكوكب.
الفكرة العلمية
البندول البسيط ثقل صغير معلّق بخيط خفيف لا يتمدد، ويتحرك حركة توافقية بسيطة إذا كانت زاوية إزاحته صغيرة. وزمنه الدوري T = 2π √(L / g): يعتمد على طول الخيط L وتسارع الجاذبية g، ولا يعتمد على كتلة الثقل ولا على السعة ما دامت الزاوية صغيرة. وبتربيع القانون نحصل على T² = (4π² / g) L، أي أن العلاقة بين T² و L خطية، وميل الخط المستقيم يساوي 4π² / g، فنحسب g = 4π² / الميل. وعلى الأرض يكون الميل نحو 4.0 s²/m، فمثلًا الطول 1.00 m يعطي زمنًا دوريًا قريبًا من 2.0 s. وفي الكتاب يُقاس زمن عشر اهتزازات لتقليل خطأ التوقيت، أما «العداد الزمني» في المحاكاة فيقيس الدورة مباشرة. وعند الزوايا الكبيرة يزداد الزمن الدوري قليلًا عن القانون لأن الحركة لا تعود توافقية بسيطة.
قوّم نفسك
جرّب المحاكاة أولًا ثم أجب. لا درجات ولا تسجيل — الإجابات لك وحدك، وتختفي بإغلاق الصفحة.
ضاعفتَ كتلة ثقل البندول مع إبقاء الطول والزاوية. ماذا يحدث للزمن الدوري؟
- يقصر لأن الثقل أكبر
- يطول لأن القصور أكبر
- لا يتغيّر
- يتضاعف
اعرض الإجابة
ج) لا يتغيّر
الكتلة لا تظهر في القانون T = 2π √(L / g)، لأن زيادة الكتلة تزيد الوزن والقصور الذاتي بالنسبة نفسها. والاعتقاد بأن الثقل الأكبر يقصّر الزمن الدوري مفهوم خاطئ يذكره دليل المعلم بالنص.
جعلتَ طول الخيط أربعة أمثال طوله الأول. كم يصير الزمن الدوري؟
- مثلي الزمن الأول
- أربعة أمثاله
- نصفه
- لا يتغيّر
اعرض الإجابة
أ) مثلي الزمن الأول
الزمن الدوري يتناسب مع الجذر التربيعي للطول، فضرب الطول في 4 يضرب الزمن في 2. فمثلًا 0.25 m تعطي نحو 1.0 s، و 1.00 m تعطي نحو 2.0 s. والإجابة أربعة أمثاله تفترض تناسبًا طرديًا مباشرًا.
كان ميل الخط البياني T² مقابل L يساوي 4.03 s²/m. كم تسارع الجاذبية تقريبًا؟
- 4.03 m/s²
- 0.25 m/s²
- 39.5 m/s²
- 9.8 m/s²
اعرض الإجابة
د) 9.8 m/s²
الميل يساوي 4π² / g، فيكون g = 4π² / 4.03 = 39.5 / 4.03 ≈ 9.8 m/s². ومن يجيب 4.03 يأخذ الميل على أنه g مباشرة، ومن يجيب 39.5 ينسى القسمة على الميل.
لماذا يشترط النشاط أن تكون زاوية إزاحة البندول صغيرة؟
اعرض الإجابة
لأن القانون T = 2π √(L / g) لا يصح إلا للزوايا الصغيرة، حيث تكون القوة المعيدة متناسبة تقريبًا مع الإزاحة فتكون الحركة توافقية بسيطة. وعند الزوايا الكبيرة يطول الزمن الدوري عن قيمة القانون، فتخرج قيمة g المحسوبة أصغر من الحقيقية.
لماذا يطلب الكتاب قياس زمن عشر اهتزازات ثم القسمة على عشرة بدل قياس اهتزازة واحدة؟
اعرض الإجابة
لأن خطأ التوقيت باليد (لحظة الضغط على الساعة في البداية والنهاية) ثابت تقريبًا مهما كان عدد الاهتزازات. فإذا قسنا عشر اهتزازات توزّع هذا الخطأ على عشر دورات فصار أثره في الزمن الدوري عُشر ما كان، وصارت قيمة g أدق.