جمع المتّجهات وتحليلها
يجد محصّلة عدة متجهات بالطريقة الهندسية (الرأس للذيل) مقدارًا واتجاهًا، ويحلّل المتجه إلى مركّبتيه الأفقية والرأسية ويتحقق منهما حسابيًا.
المحاكاة التفاعلية
محاكاة تفاعلية: جمع المتجهات — من PhET
لا تُحمَّل المحاكاة إلا بطلبك. اضغط لبدء التشغيل — قد تستغرق لحظات على الاتصال البطيء.
في كتابك
- نشاط (٣): الطريقة الهندسيّة لجمع المتّجهات — الجزء الأول، ص ٦
- نشاط (٤): تحليل الكميّة المتّجهة — الجزء الأول، ص ٧
خطوات التجربة
افتح شاشة «المختبر»، واسحب من السلة أربعة متجهات مختلفة إلى الشبكة.
اضغط على كل متجه لتظهر قيمه في لوحة «قِيم المتجهات»، وسجّل في جدول مقدار كل متجه وزاويته كما في جدول النشاط.
اسحب كل متجه من منتصفه (دون رأسه كي لا يتغيّر) حتى يقع ذيله على رأس المتجه الذي قبله، فتحصل على سلسلة رأس لذيل.
فعّل «جمع» لتظهر المحصّلة، وسجّل مقدارها وزاويتها، ولاحظ أنها تصل ذيل المتجه الأول برأس المتجه الأخير.
افتح شاشة «استكشف 2D»، واسحب متجهًا واحدًا إلى الشبكة، ثم اسحب رأسه حتى تصير مركّبته الأفقية 8 والرأسية 6، واقرأ مقداره (10) وزاويته في «قِيم المتجهات».
اختر من أزرار «مركبات المتجهات» عرض المركّبتين على المتجه، واحسب A cosθ و A sinθ وقارنهما بالمركّبتين المعروضتين.
اسحب رأس المتجه ليدور مع إبقاء مقداره قريبًا من 10، وسجّل كيف تتغيّر المركّبتان مع الزاوية.
الفكرة العلمية
المتجه كمية لها مقدار واتجاه، ولذلك لا تُجمع المتجهات بجمع مقاديرها إلا إذا كانت في الاتجاه نفسه. في الطريقة الهندسية يُرسم كل متجه بحيث يبدأ ذيله من رأس المتجه الذي قبله، فتكون المحصّلة هي المتجه الواصل من ذيل الأول إلى رأس الأخير، ولا يتغيّر ناتجها بتغيير ترتيب الجمع. وفي التحليل نردّ المتجه A الذي يصنع زاوية θ مع المحور الأفقي إلى مركّبتين متعامدتين: Ax = A cosθ و Ay = A sinθ. ثم تُجمع المركّبات الأفقية معًا والرأسية معًا، ويُحسب مقدار المحصّلة R = √(Rx² + Ry²) واتجاهها من tanθ = Ry / Rx. والمحاكاة ترسم المتجهات وتقيسها بدل المسطرة والمنقلة، لكنها لا تحوي ميزانًا نابضيًا ولا قوة حقيقية كما في النشاط الثاني، فالمتجه فيها مجرد سهم يمثّل أي كمية متجهة.
قوّم نفسك
جرّب المحاكاة أولًا ثم أجب. لا درجات ولا تسجيل — الإجابات لك وحدك، وتختفي بإغلاق الصفحة.
متجهان متعامدان مقداراهما 3 و 4 وحدات. كم مقدار محصّلتهما؟
- 7 وحدات
- 5 وحدات
- 1 وحدة
- 3.5 وحدات
اعرض الإجابة
ب) 5 وحدات
المتعامدان يُجمعان بنظرية فيثاغورس: √(9 + 16) = 5. أما 7 فناتج جمع المقدارين مباشرة، ولا يصح إلا إذا كان المتجهان في الاتجاه نفسه، و1 لا يصح إلا إذا تعاكسا. وهذا أشهر خطأ في جمع المتجهات.
متجه مقداره 10 وحدات يصنع زاوية 30° مع المحور الأفقي. ما مركّبتاه تقريبًا؟
- الأفقية 8.7 والرأسية 5
- الأفقية 5 والرأسية 8.7
- الأفقية 5 والرأسية 5
- الأفقية 10 والرأسية 0
اعرض الإجابة
أ) الأفقية 8.7 والرأسية 5
المركّبة الأفقية A cosθ = 10 × 0.87 = 8.7، والرأسية A sinθ = 10 × 0.5 = 5. ومن يختار الخيار الثاني يبدّل بين cos و sin، وهو خطأ يذكره دليل المعلم صراحة. والمركّبتان لا تساويان نصف المقدار لكل منهما لأن مجموع مربّعيهما يجب أن يساوي مربّع المقدار.
أعدتَ ترتيب المتجهات الأربعة في السلسلة (بدأت بالثالث بدل الأول). ماذا يحدث للمحصّلة؟
- يتغيّر مقدارها
- يتغيّر اتجاهها فقط
- تتبع دائمًا اتجاه المتجه الأول
- لا تتغيّر مقدارًا ولا اتجاهًا
اعرض الإجابة
د) لا تتغيّر مقدارًا ولا اتجاهًا
جمع المتجهات تبديلي: المحصّلة مجموع المركّبات الأفقية ومجموع المركّبات الرأسية، وهذان المجموعان لا يتأثران بالترتيب. يتغيّر شكل السلسلة على الشبكة فيظن الطالب أن الناتج تغيّر، لكن سهم «جمع» يبقى كما هو.
لماذا تصل المحصّلة ذيل المتجه الأول برأس المتجه الأخير في الطريقة الهندسية؟
اعرض الإجابة
لأن كل متجه يمثّل انتقالًا من نقطة إلى أخرى، فإذا وُضعت المتجهات رأسًا لذيل صار الأثر الكلي هو الانتقال من نقطة البداية إلى نقطة النهاية مباشرة. فالمحصّلة متجه واحد يُحدث وحده الأثر نفسه الذي تُحدثه المتجهات مجتمعة، كإزاحة شخص مشى عدة مسافات في اتجاهات مختلفة.
بين أي قيمتين تنحصر محصّلة متجهين مقداراهما 6 و 8 وحدات؟ ومتى تبلغ كلًّا منهما؟
اعرض الإجابة
تنحصر بين 2 و 14 وحدة. تبلغ 14 حين يكون المتجهان في الاتجاه نفسه فتُجمع المقادير، وتبلغ 2 حين يتعاكسان فتُطرح. وأي زاوية أخرى بينهما تعطي قيمة بين الحدّين، ومنها الوضع المتعامد الذي يعطي 10 وحدات.